2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1．﹣的相反数是（ ） A．﹣ B．
C．﹣5 D．5
2．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相交 B．内含 C．相切 D．相离
4． 下面的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给1号选手的评分如下：90，96，91，96，95，94．那么，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．96，94.5 B．96，95
C．95，94.5 D．95，95
6．将正面分别标有数字1，2，3，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（ ）
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A． B． C． D．
，y2），
7．已知反比例函数y=的图象在第二、四象限内，函数图象上有两点A（2，y1），B（则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＜y2
B．y1=y2 C．y1＞y2
D．无法确定
8．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（b，a） C．（﹣b，a）
D．（b，﹣a）
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．
﹣|﹣2|+（
）0= ．
10．国家游泳中心“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，用科学记数法表示是 平方米．
11．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=42°，则∠OAC的度数是 ．
12．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 m．
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13．已知Rt△ABC的两条直角边AC=3cm，BC=4cm，则以直线AC为轴将△ABC旋转一周所得到的几何体的侧面积是 cm2．
14．如图，在由24个边长都为1的小正三角形组成的正六边形网格中，以格点P为直角顶点作格点 直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
四、解答题（本大题满分74分） 16．（1）化简：（
﹣
）÷
；
（2）解方程组：．
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17．某校团委生活部为了了解本校九年级学生的睡眠情况，随机调查了50名九年级学生的睡眠时间情况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．
组别 频数 频率 3≤t＜4 2 4≤t＜5 4 0.04 0.08 5≤t＜6 12 6≤t＜7 14 0.28 7≤t＜8 8≤t＜9 6 0.24 0.12 合计 50 1.00 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）若初中生合理的睡眠时间范围为7≤t＜9，那么请你估算该校500名九年级学生中睡眠时间在此范围内的人数是多少？
18．某商场设定了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成16个扇形），并规定：顾客在商场消费每满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄和蓝色区域，顾客就可以分别获得50元、30元和10元的购物券．如果顾客不愿意转转盘，则可以直接获得购物券15元．
（1）转动一次转盘，获得50元、30元、10元购物券的概率分别是多少？
（2）如果有一名顾客在商场消费了200元，通过计算说明转转盘和直接获得购物券，哪种方式对这位顾客更合算？
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19．如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲乙两人分别在相距6米的C、D两处测得B点和A点的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE=15米，求旗杆AB的长大约是多少米？（结果保留整数）
（参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1）
20．某班到毕业时共节余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为母校购买纪念品，其余经费用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为留念．已知每件文化衫的价格比每本相册贵9元，用175元购买文化衫和用130元购买相册的数量相等． （1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？ （2）有哪几种购买文化衫和相册的方案？
21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，且AD=CD．将梯形ABCD沿对角线BD折叠，点A恰好落在CD边的点F上，延长BF交AD延长线于点E，连接EC． （1）求证：△DEF≌△CBF；
（2）判断四边形BCED是什么特殊四边形？说明理由； （3）求∠ADC的度数．（直接写结论，不用证明）
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22．某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过80元，也不得低于30元．经调查发现：日均销售量y（棵）与销售单价x（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价60元时，日均销售90棵；每棵售价30元时，日均销售120棵． （1）求日均销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用200元，求销售利润w（元）与销售单价x之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？
23．已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，连接DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点C重合；将△ADE向下平移，使点A与点C重合，如图②．
（1）设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为 S1、S2、S3，则S1+S2+S3 ＞”填空）
（用“＜、=、
（2）已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△FEO、△CDO的S2、S3；面积分别为S1、问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究）
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24．如图，在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=80cm，连接AC、BD．动点P从点D出发，以5cm/s速度沿边DC匀速向点C运动，到达点C即停止，过点P作BD的垂线，垂足为T．设点P运动的时间为t s．
（1）当AP⊥BD时，AP的长是多少？
（2）设△APT面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式？并写出自变量t的取值范围； （3）在P点的运动过程中，△APT的面积能否达到矩形ABCD面积的？若能达到，求出此时t的值；若不能，说明理由．
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2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1．﹣的相反数是（ ） A．﹣ B．
C．﹣5 D．5
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：﹣的相反数是， 故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形． 故选B．
【点评】本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
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A．相交 B．内含 C．相切 D．相离 【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为8cm，7＜8， ∴直线l与⊙O相离． 故选D．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
4． 下面的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1， 故选A．
【点评】考查简单组合几何体的三视图知识；用到的知识点为：左视图是从几何体左面看得到的平面图形．
5．某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给1号选手的评分如下：90，96，91，96，95，94．那么，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．96，94.5 B．96，95 【考点】众数；中位数． 【专题】应用题．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
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C．95，94.5 D．95，95
【解答】解：在这一组数据中96是出现次数最多的，故众数是96；
而将这组数据从小到大的顺序排列（90，91，94，95，96，96），处于中间位置的那个数是94、95，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（94+95）÷2=94.5． 故这组数据的众数和中位数分别是96，94.5． 故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6．将正面分别标有数字1，2，3，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片组成的数恰好为“12”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两张卡片组成的数恰好为“12”的只有1种情况， ∴两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是：． 故选C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．已知反比例函数y=的图象在第二、四象限内，函数图象上有两点A（2，y1），B（则y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＜y2
B．y1=y2 C．y1＞y2
D．无法确定
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，y2），
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数y=的图象在第二、四象限内判断出k的符号，再根据反比例函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象在第二、四象限内， ∴k＜0．
∵点A（2，y1），B（∴y1＜y2． 故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
，y2）在此函数图象上，且2＜
，
A．（﹣a，﹣b） B．（b，a） C．（﹣b，a） 【考点】坐标与图形变化-旋转． 【专题】动点型．
D．（b，﹣a）
【分析】根据旋转前后的三角形全等及所在象限符号的特点可得所求点的坐标． 【解答】解：∵△AOB≌△A′OB′， ∴A′B′=AB=b，OB′=OB=a， ∵A′在第二象限， ∴A′坐标为（﹣b，a）， 故选C．
【点评】考查点的旋转问题；用到的知识点为：旋转前后图形的形状不变．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
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9．﹣|﹣2|+（
）0= 2 ．
【考点】实数的运算；零指数幂． 【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=3﹣2+1 =2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．国家游泳中心“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，用科学记数法表示是 2.6×105 平方米． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】应用题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：260 000平方米用科学记数法表示是2.6×105平方米．
【点评】用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
11．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=42°，则∠OAC的度数是 21° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠AOB=42°，
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∴∠ACB=∠AOB=21°． ∵AO∥BC，
∴∠OAC=∠ACB=21°． 故答案为：21°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
12．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 4.5 m．
【考点】二次函数的应用．
【分析】如图，实际是求AB的距离，而OA已知，所以只需求出OB即可；而OB的长，又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答． 【解答】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=x2+3.5中得： x=±1.5（舍去负值）， 即OB=1.5，
所以l=AB=2.5+1.5=4．
令解：把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得： x1=1.5，x2=﹣1.5（舍去）， ∴L=3+1.5=4.5米． 故答案为：4.5．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
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13．已知Rt△ABC的两条直角边AC=3cm，BC=4cm，则以直线AC为轴将△ABC旋转一周所得到的几何体的侧面积是 20π cm2． 【考点】圆锥的计算；点、线、面、体．
【分析】以直线AC为轴旋转一周所得到的几何体是一圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：根据题意得：圆锥的底面周长=8π， 所以圆锥的侧面积=×8π×5=20π， 故答案为：20π．
【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是能够确定旋转得到的集合体的形状，难度不大．
14．如图，在由24个边长都为1的小正三角形组成的正六边形网格中，以格点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 4，2，
．
，
【考点】勾股定理；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理． 【专题】压轴题；网格型．
【分析】在正六边形网格中，首先找出以点P为直角的直角三角形，然后应用勾股定理求其斜边长．【解答】解：通过作图，知以点P为直角的三角形由四种情况，
如上图，△PCB、△PCA、△PDB、△PDA，均是以点P为直角的直角三角形， 故：在Rt△PCB中，BC=在Rt△PCA中，AC=在Rt△PDB中，BD=在Rt△PAD中，AD=
===
，=
=
=2； =； =4． ．
；
故所有可能的直角三角形斜边的长为4，2，
第14页（共28页）
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，难易程度适中．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．
【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
【解答】解：
作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P， 则P为这个中心医院的位置．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
四、解答题（本大题满分74分） 16．（1）化简：（
﹣
）÷
；
第15页（共28页）
（2）解方程组：．
【考点】分式的混合运算；解二元一次方程组． 【分析】（1）运用分式的混合运算顺序求解即可； （2）利用解二元一次方程组的步骤求解即可． 【解答】解：（1）（
﹣
）÷
==x﹣2；
•，
（2）解方程组：②﹣①×2，得y=﹣1， 把y=﹣1代入①得x=1， 所以原方程组的解为
．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算及解二元一次方程组，解题的关键是灵活运用分式的混合运算顺序及解二元一次方程组的步骤．
17．某校团委生活部为了了解本校九年级学生的睡眠情况，随机调查了50名九年级学生的睡眠时间情况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．
组别 频数 频率 3≤t＜4 2 4≤t＜5 4 0.04 0.08 5≤t＜6 12 6≤t＜7 14 0.28 7≤t＜8 8≤t＜9 6 0.24 0.12 合计 50 1.00 第16页（共28页）
请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）若初中生合理的睡眠时间范围为7≤t＜9，那么请你估算该校500名九年级学生中睡眠时间在此范围内的人数是多少？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 【专题】图表型．
【分析】（1）根据频数、频率成正比例关系可得：频数空格填12，频率空格填0.24；据此可补全频数分布直方图；
（2）首先计算样本中睡眠时间范围为7≤t＜9的学生所占的比例，在用样本估计总体，估算该校500名九年级学生中睡眠时间在此范围内的人数．
【解答】解：（1）根据频数、频率成正比例关系可得：12÷（2÷0.04）=12÷50=0.24，50×0.24=12， 频数空格填12，频率空格填0.24，在频数分布直方图中补画7～8这组，高为12的矩形．每个，共 组别 频数 频率 3≤t＜4 2 4≤t＜5 4 0.04 0.08 5≤t＜6 12 0.24 6≤t＜7 14 0.28 7≤t＜8 12 0.24 8≤t＜9 6 0.12 合计 50 1.00 （2）在样本中有占（0.24+0.12）的学生的睡眠时间范围为7≤t＜9；则该校500名九年级学生中睡眠时间在此范围内的总人数=500×（0.24+0.12）=180（人）．
第17页（共28页）
【点评】读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
18．某商场设定了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成16个扇形），并规定：顾客在商场消费每满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄和蓝色区域，顾客就可以分别获得50元、30元和10元的购物券．如果顾客不愿意转转盘，则可以直接获得购物券15元．
（1）转动一次转盘，获得50元、30元、10元购物券的概率分别是多少？
（2）如果有一名顾客在商场消费了200元，通过计算说明转转盘和直接获得购物券，哪种方式对这位顾客更合算？
【考点】概率公式．
【分析】（1）由转盘被等分成16个扇形，红色扇形有1个，黄色扇形有3个，蓝色扇形有5个，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先求得转转盘获得购物券的平均值，再与15元比较，即可知哪种方式对这位顾客更合算． 【解答】解：（1）∵转盘被等分成16个扇形，红色扇形有1个，黄色扇形有3个，蓝色扇形有5个，
∴P（获得50元购物券）=
，P（获得30元购物券）=
第18页（共28页）
，P（获得10元购物券）=；
（2）转转盘：
×50+
×30+
×10=
＜15，
∴直接获得购物券的方式对这位顾客更合算．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲乙两人分别在相距6米的C、D两处测得B点和A点的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE=15米，求旗杆AB的长大约是多少米？（结果保留整数）
（参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADE、△CBE，应利用AB=AE﹣BE可求出答案．
【解答】解：在直角△ADE中，∠ADE=65°，DE=15米，则tan∠ADE=即tan65°=
≈2.1，
，sin∠ADE=
，
解得 AE≈31.5（米），
在直角△BCE中，∠BCE=42°，CE=CD+DE=21米，则tan∠BCE=解得 BE≈18.9（米），
则AB=AE﹣BE=31.5﹣18.9≈13（米）． 答：旗杆AB的长大约是13米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
，即tan42°=
≈0.9，
第19页（共28页）
20．某班到毕业时共节余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为母校购买纪念品，其余经费用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为留念．已知每件文化衫的价格比每本相册贵9元，用175元购买文化衫和用130元购买相册的数量相等． （1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？ （2）有哪几种购买文化衫和相册的方案？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设一件文化衫x元，则一本相册（x﹣9）元，根据用175元购买文化衫和用130元购买相册的数量相等，列方程求解；
（2）设购买文化衫m件，购买相册（50﹣m）件，根据题意可知，资金不少于（1800﹣300）元但不超过（1800﹣270）元，列不等式组求解．
【解答】解：（1）设一件文化衫x元，则一本相册（x﹣9）元， 由题意得，解得：x=35，
经检验，x=35是原分式方程的解，且符合题意， 则x﹣9=35﹣9=26（元）．
答：一件文化衫35元，则一本相册26元；
（2）设购买文化衫m件，购买相册（50﹣m）件， 由题意得，1500≤35m+26（50﹣m）≤1530， 解得：22≤m≤25，
共有3种方案：购买文化衫23件，购买相册27件； 购买文化衫24件，购买相册26件； 购买文化衫25件，购买相册25件．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，且AD=CD．将梯形ABCD沿对角线BD折叠，点A恰好落在CD边的点F上，延长BF交AD延长线于点E，连接EC． （1）求证：△DEF≌△CBF；
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=，
（2）判断四边形BCED是什么特殊四边形？说明理由； （3）求∠ADC的度数．（直接写结论，不用证明）
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用折叠和AD=CD，得出DF=CF，利用ASA得出△DEF≌△CBF；
（2）先利用DF=FC，EF=BF，得出四边形BCED是平行四边形，再进一步证明△DBF≌△CFE，得出DB=DE，证得四边形BCED是菱形；
（3）利用折叠得出∠ADB=∠CDB，利用菱形得出∠CDB=∠CDE，由此得出∠ADB=∠CDB=∠CDE=60°，得出∠ADC=120°．
【解答】（1）证明：∵梯形ABCD沿对角线BD折叠，点A恰好落在CD边的点F上， ∴∠DFB=∠A=90°，AD=DF， ∵AD=CD， ∴DF=CD， ∴DF=CF， ∵AD∥BC， ∴∠FDE=∠FCB， 在△DEF和△CBF中，
∴△DEF≌△CBF； （2）四边形BCED是菱形． 理由：∵△DEF≌△CBF， ∴DF=FC，EF=BF，
∴四边形BCED平行四边形， 在△DBF和△CFE中，
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∴△DBF≌△CFE， ∴DB=DE，
∴四边形BCED是菱形． （3）∠ADC=120°． ∵折叠，
∴∠ADB=∠CDB， ∵四边形BCED是菱形， ∴∠CDB=∠CDE，
∴∠ADB=∠CDB=∠CDE=60°， ∴∠ADC=120°．
【点评】此题综合考查三角形全等的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定，注意已知条件与所求问题之间的联系，灵活运用知识之间的联系解决问题．
22．某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过80元，也不得低于30元．经调查发现：日均销售量y（棵）与销售单价x（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价60元时，日均销售90棵；每棵售价30元时，日均销售120棵． （1）求日均销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用200元，求销售利润w（元）与销售单价x之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（60，90），（30，120）分别代入上式得到一次函数解析式；
（2）根据题意得到W=（x﹣20）（﹣x+150）﹣200，配方后求最大值． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为y=kx+b， 把（60，90），（30，120）分别代入上式得，解得
．
，
故y=﹣x+150，（30≤x≤80）．
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（2）根据题意得W=（x﹣20）（﹣x+150）﹣200 =﹣x2+170x﹣3200
=﹣（x2﹣170x+852﹣852）﹣3200 =﹣（x﹣85）2+852﹣3200 =﹣（x﹣85）2+852﹣3200 =﹣（x﹣85）2+4025．
当x=80时取得最大值，为W最大值=﹣（80﹣85）2+4025=4000元．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，将一次函数与二次函数结合是解题的关键．
23．已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，连接DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点C重合；将△ADE向下平移，使点A与点C重合，如图②．
（1）设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为 S1、S2、S3，则S1+S2+S3 ＜ 填空）
（用“＜、=、＞”
（2）已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△FEO、△CDO的S2、S3；面积分别为S1、问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究）
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【考点】等边三角形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；平移的性质． 【分析】根据
【解答】解：（1）S1+S2+S3＜
（2）结论成立
证明一：延长OB到H使BH=OE 延长OA到G使AG=OD 连接HG
∵OA+AG=OA+DO=AD=2 OB+BH=OB+OE=BE=2 ∠AOB=60°
∴△GHO是等边三角形 ∵OG=OH=HG=2 ∴S△GHO=
在HG上取点M，使MG=OC ∵HM+MG=HG=2 OC+OF=CF=2 ∴HM=OF
在△MGA和△COD中，∴△MGA≌△COD 同理可证：△MHB≌△FOE
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∴S2=S△MHB，S3=S△MGA
由图形可知：S△ABO+S△MHB+S△MGA＜S△GHO， ∴S1+S2+S3＜S△GHO=即S1+S2+S3＜
．
【点评】本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．
24．如图，在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=80cm，连接AC、BD．动点P从点D出发，以5cm/s速度沿边DC匀速向点C运动，到达点C即停止，过点P作BD的垂线，垂足为T．设点P运动的时间为t s．
（1）当AP⊥BD时，AP的长是多少？
（2）设△APT面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式？并写出自变量t的取值范围； （3）在P点的运动过程中，△APT的面积能否达到矩形ABCD面积的？若能达到，求出此时t的值；若不能，说明理由．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）先根据勾股定理求出BD，再证明△APD∽△BDA，得出比例式AP；
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，即可求出
（2）分两种情况：①当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部时，作AG⊥BD于G；先证明△DPT∽△DBC，得出对应边成比例
，即
，得出DT=4t，PT=3t；再由
AD•AB=BD•AG，求出AG=48，S△APT=S△AOP﹣S△ATO﹣S△OTP=×60×5t﹣×4t×48﹣×4t×3t，即可得出y与t的函数关系式；
②当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部时，由①得：S△APT=S△ATO+S△OTP﹣S△AOP=6t2﹣54t，即可得出结果；
（3）当t=9时，A，T，P三点在一条直线上，点A，T，P不构成三角形；分两种情况：①当0＜t＜9时，列出方程求解看有无实数根即可；
②当9＜t≤16时，列出方程求解看有无实数根即可． 【解答】解：（1）当AP⊥BD时，垂足为G，如图1所示： 则∠BGAD=90°， ∴∠BAG+∠ABD=90°， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=80cm，∠BAD=∠ADP=90°， ∴BD=
=
=100，∠BAG+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠ABD， ∴△APD∽△BDA， ∴
，即
，
∴AP=75；
（2）当A，T，P三点在一条直线上，点A，T，P不构成三角形， 此时，PD=∴分两种情况：
①当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部，如图2所示： 作AG⊥BD于G； ∵PT⊥BD， ∴∠PTD=90°， ∴∠PTD=∠BCD=90°， 又∵∠PDT=∠BDC，
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=45，t==9；
∴△DPT∽△DBC， ∴
，即
，
∴DT=4t，PT=3t；
由AD•AB=BD•AG，可得：AG=48， ∴S△APT=S△AOP﹣S△ATO﹣S△OTP =×60×5t﹣×4t×48﹣×4t×3t =﹣6t2+54t， ∴y=﹣6t2+54t；
②当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部时，如图3所示： 作AG⊥BD于G，
此时S△APT=S△ATO+S△OTP﹣S△AOP=6t2﹣54t， ∴y=6t2﹣54t；
综上所述：当0＜t＜9时，y=﹣6t2+54t；当9＜t≤16时，y=6t2﹣54t； （3）不能；理由如下：
∵矩形ABCD的面积=80×60=4800，若S△APT=S矩形ABCD=1200， ①当0＜t＜9时，﹣6t2+54t=1200，即t2﹣9t+200=0． 此时，△=（﹣9）2﹣4×1×200＜0， ∴该方程无实数根．
∴当0＜t＜9时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形ABCD面积的； ②当9＜t≤16时，6t2﹣54t=1200，即t2﹣9t﹣200=0． 解得：t=
∵881＞625=252， ∴t=
＞
=17， （负值舍去），
而此时9＜t≤16， ∴t=
也不符合题意，应舍去．
∴当9＜t≤16时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形ABCD面积的；
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综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形ABCD面积的．
【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算方法、一元二次方程的解法等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线和分类讨论的方法，通过证明三角形相似和解方程才能得出结果．
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