考研数学一（高等数学）模拟试卷198 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 下列命题正确的是( )．
A．若|f(x)|在x=a处连续，则f(x)在x=a处连续 B．若f(x)在x=a处连续，则|f(x)|在x=a处连续
C．若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a的一个邻域内连续 D．若[f(a+h)－f(a－h)]=0，则f(x)在x=a处连续
正确答案：B 解析：令f(x)=显然|f(x)|≡1处处连续，然而f(x)处处间断，(A)不对；令f(x)=显然f(x)在x=0处连续，但在任意x=a≠0处函数f(x)部是间断的，故(C)不对；令f(x)=[f(0+h)－f(0－h)]=0，但f(x)在x=0处不连续，(D)不对；若f(x)在x=a处连续，则f(x)=f(a)，又0≤||f(x)|－|f(a)||≤|f(x)－f(a)|，根据夹逼定理，|f(x)|=|f(a)|，选(B)． 知识模块：高等数学
2． f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )． A．f(x)，g(x)在x0处都可导
B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导 C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导 D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导
正确答案：D
解析：令f(x)=显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选(D)． 知识模块：高等数学
3． 下列说法正确的是( )．
A．设f(x)在x0二阶可导，则f”(x)在x=x0处连续 B．f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值 C．f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值
D．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点
正确答案：D
解析：令f’(x)=f”(x)不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)． 知识模块：高等数学
4． 设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)=∫0xf(x－t)dt，G(x)=∫01xg(xt)出，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．
A．高阶无穷小
B．低阶无穷小
C．同阶但非等价无穷小 D．等价无穷小
正确答案：D 解析：F(x)=∫0xf(x－t)dt=－∫0xf(x－t)d(x－t)∫0xf(u)du，G(x)=∫01xg(xt)dt∫0xg(u)du，则选(D)． 知识模块：高等数学
5． 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．
A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x) B．C1[φ1(x)－φ2(x)]+C2φ3(x)
C．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)－φ3(x)]
D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1
正确答案：D
解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)－φ3(x)，φ2(x)－φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)－φ3(x)]+C2[φ2(x)－φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1－C1－C2或C1+C2+C3=1，选(D)． 知识模块：高等数学
填空题
6．
正确答案：1／4
解析： 知识模块：高等数学
7．
正确答案：0
解析：当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1，得y=0．方程y+ey=ln(e+t2)两边对t求导数，得 知识模块：高等数学
8．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
9． 点M(3，－1，2)到直线的距离为_______．
正确答案：
解析：直线的方向向量为S={1，1，－1}×{2，－1，1}={0，－3，－3}，
显然直线经过点M0(1，－1，1)，×s={3，6，－6}，则点M(3，－1，2)到直线 知识模块：高等数学
10． 设z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_______．
正确答案：f’+xf”+xy－1g’1+yxy－1lnxg’1+yx2y－1lnxg”11+2y2xy－1g”12+2xy+1lnxg”21+4xyg”22
解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy－1g’1(xy，x2+y2)+2xg’2(xy，x2+y2)=f’+xf”+xy－1g’1+yxy－1lnxg’1+yx2y－1lnxg”11+2y2xy－1g”12+2xy+1lnxg”21+4xyg”22 知识模块：高等数学
11．
正确答案：3e
解析：令S(x)=xn(－∞＜x＜+∞)，=xn+(x+1)ex=(x2+x+1)ex于是=S(1)=3e． 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
12． 设a＞0，x1＞0，且定义xn+1=1／4(3xn+)(n=1，2，…)，证明：xn存在并求其值．
正确答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有从而xn+1－xn=1／4(≤0(n=2，3，…)，故{xn}n=2∞单调减少，再由xn≥0(n=2，3，…)，则xn存在，令xn=A，等式xn+1=1／4(3xn+)两边令n→∞得 涉及知识点：高等数学
13．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
14． 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得
正确答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有两式相加得f(a)+f(b)－2f([f”(ξ1)+f”(ξ2)]．因为f”(x)在(a，b)内连续，所以f”(x)在[ξ1，ξ2]上连续．从而f”(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2] 涉及知识点：高等数学
15． 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f”(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且满足k1+k2+…+kn=1．证明：f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．
正确答案：令x0=k1x1+k2x2+…+knxn，显然x0∈[a，b]．因为f”(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)，分别取x=xi(i=1，2，…，n)，得由ki＞0(i=1，2，…，n)，上述各式分别乘以ki(i=1，2，…，n)，得将上述各式分别相加，得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)，即f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)． 涉及知识点：高等数学
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：
16． 存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；
正确答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)－F(a)=F’(c)(b－a)=f(c)(b－a)=0，即f(c)=0． 涉及知识点：高等数学
17． 存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；
正确答案：令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)． 涉及知识点：高等数学
18． 存在ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)=f(ξ)；
正确答案：令φ(z)=e－x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)，φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f”(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f”(ξ)=f(ξ)． 涉及知识点：高等数学
19． 存在η∈(a，b)，使得f”(η)－3f’(η)+2f(η)=0
正确答案：令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e－x[f’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)－f(η1)=0，f’(η2)－f(η2)=0．令φ(x)=e－2x[f’(x)－f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e－2x[f”(x)－3f’(z)+2f(x)]且e－2x≠0，所以f”(η)－3f’(η)+2f(η)=0． 涉及知识点：高等数学
20． ∫01x4dx．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
21．
正确答案：令f(x)==x，当1＜x≤2时， 涉及知识点：高等数学
22． 设f’(x)在[0，1]上连续且|f’(x)|≤M．证明：|∫01f(x)dx－f(k／n)|≤M／2n．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
23． 某f家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为p1，p2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1=24－0．2p1，q2=10－0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问f家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?
正确答案：p1=120－5q1，p2=200－20q2．收入函数为R=p1q1+p2q2，总利润函数为L=R－C=(120－5q1)q1+(200－20q2)q2－[35+40(q1+q2)]，得q1=8，q2=4，从而p1=80，p2=120．L(8，4)=605，由实际问题的意义知，当p1=80，p2=120时，f家获得的利润最大，最大利润为605． 涉及知识点：高等数学
24． 计算∫01dx(x2+y2)2dy．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
25． 设Ω：x2+y2+z2≤1，证明：
正确答案：令f(x，y，z)=x+2y－2z+5，因为f’x=1≠0，f’y=2≠0，f’z=－2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y－2z+5+λ(x2+y2+z2－1)，因为f(P1)=8，f(P2)=2，所以在Ω上的最大值与最小值分别为2和，于是 涉及知识点：高等数学
26． 位于点(0，1)，的质点A对质点M的引力大小为k／r2(其中常数k＞0，且r=|AM|)，质点M沿曲线L：y=自点B(2，0)到点(0，0)，求质点A对质点M所做的功．
正确答案：任取M(x，y)∈L，r=两质点的引力大小为|F|=k／r2=则F=|F|F0则W=∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy，所以曲线积分与路径无关，从而 涉及知识点：高等数学
27． 设{nan}收敛，且n(an－an－1)收敛，证明：级数an收敛．
正确答案：令Sn=a1+a2+…+an，S’n+1=(a1－a0)+2(a2－a1)+…+(n+1)(an+1－an)，则S’n+1=(n+1)an+1－Sn－a0，因为n(an－an－1)收敛且数列{nan}收敛，所以(n+1)an+1都存在，于是Sn存在，根据级数收敛的定义，an收敛． 涉及知识点：高等数学
28． 证明S(x)=x4n／(4n)!满足微分方程y(4)－y=0并求和函数S(x)．
正确答案：显然级数的收敛域为(－∞，+∞)，显然S(x)满足微分方程y(4)－y=0。y(4)－y=0的通解为y=C1ex+C2e－x+C3cosx+C4sinx，由S(0)=1，S’(0)=S”(0)=S”‘(0)=0得C1=1／4C2=1／4，C3=1／2，C4=0，故和函数为S(x)=cosx． 涉及知识点：高等数学
29． 设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．
正确答案：根据题意得∫0xf(t)dt=∫0xdt，由y(0)=1，得C=1，所以 及知识点：高等数学
涉
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